Ứng dụng của vectơ trong chứng minh bất đẳng thức

PHƯƠNG PHÁP CHUNG

Ta có:

$ \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\left| \overrightarrow{a} \right|.\left| \overrightarrow{b} \right|.c\text{os}\alpha ,$ với $ \alpha =(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}),$

và bởi $ \left| c\text{os}\alpha  \right|\le 1$, do đó:$ \left| \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right|\le \left| \overrightarrow{a} \right|.\left| \overrightarrow{b} \right|$.

BÀI TẬP VÍ DỤ

Ví dụ 1:     Cho $ \Delta $ABC, CMR: cosA + cosB + cosC $ \le \frac{3}{2}$.

Giải

Thiết lập các vectơ đơn vị $ \overrightarrow{{{e}_{1}}}$, $ \overrightarrow{{{e}_{2}}}$, $ \overrightarrow{{{e}_{3}}}$ trên các cạnh AB, BC, AC của $ \Delta $ABC, ta được:

$ \overrightarrow{{{e}_{1}}}.\overrightarrow{{{e}_{2}}}=\left| \overrightarrow{{{e}_{1}}} \right|.\left| \overrightarrow{{{e}_{2}}} \right|.c\text{os}({{180}^{0}}-B)=-\cos B,$

$ \overrightarrow{{{e}_{2}}}.\overrightarrow{{{e}_{3}}}=\left| \overrightarrow{{{e}_{2}}} \right|.\left| \overrightarrow{{{e}_{3}}} \right|.c\text{os}({{180}^{0}}-C)=-\cos C,$

$ \overrightarrow{{{e}_{1}}}.\overrightarrow{{{e}_{3}}}=\left| \overrightarrow{{{e}_{1}}} \right|.\left| \overrightarrow{{{e}_{3}}} \right|.c\text{os}({{180}^{0}}-A)=-\cos A,$

Mặt khác ta luôn có:

$ {{(\overrightarrow{{{e}_{1}}}+\overrightarrow{{{e}_{2}}}+\overrightarrow{{{e}_{3}}})}^{2}}={{\overrightarrow{{{e}_{1}}}}^{2}}+{{\overrightarrow{{{e}_{2}}}}^{2}}+{{\overrightarrow{{{e}_{3}}}}^{2}}+2(\overrightarrow{{{e}_{1}}}.\overrightarrow{{{e}_{2}}}+\overrightarrow{{{e}_{2}}}.\overrightarrow{{{e}_{3}}}+\overrightarrow{{{e}_{1}}}.\overrightarrow{{{e}_{2}}})$

$ =3+2(-\cos B-\cos C-\cos A)\ge 0$

$ \Leftrightarrow \cos A+\cos B+\cos C\le \frac{3}{2}$, đpcm.

Ví dụ 2:  Cho $ \Delta $ABC, CMR: $ \cos 2A+\cos 2B+\cos 2C\ge -\frac{3}{2}$.

Giải

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp $ \Delta $ABC, ta nhận được:

$ \begin{array}{l}2A=(\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}),\\2B=(\overrightarrow{OC},\overrightarrow{OA}),\\2C=(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}),\end{array}$

Mặt khác:

$ {{(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})}^{2}}={{\overrightarrow{OA}}^{2}}+{{\overrightarrow{OB}}^{2}}+{{\overrightarrow{OC}}^{2}}+2(\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OB}.\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OC}.\overrightarrow{OA})$

$ =3{{\text{R}}^{2}}+2({{\text{R}}^{2}}.c\text{os}2C+{{\text{R}}^{2}}c\text{os}2A+{{\text{R}}^{2}}c\text{os}2B)\ge 0$

$ \Leftrightarrow $$ c\text{os}2A+c\text{os}2B+c\text{os}2C\ge -\frac{3}{2}$, đpcm

Ví dụ 3: Chứng minh $ \displaystyle \forall x,y\in $R, ta có: $ \displaystyle \left| \frac{(x+y)(1-xy)}{(1+{{x}^{2}})(1+{{y}^{2)}}} \right|\le \frac{1}{2}$ (*)

Giải

Ta có (*) $ \displaystyle \Leftrightarrow \left| \frac{x(1-{{y}^{2}})+y(1-{{x}^{2}})}{(1+{{x}^{2}})(1+{{y}^{2}})} \right|\le \frac{1}{2}$

$ \displaystyle \Leftrightarrow \left| \left( \frac{2x}{1+{{x}^{2}}} \right).\left( \frac{1-{{y}^{2}}}{1+{{y}^{2}}} \right)+\left( \frac{2y}{1+{{y}^{2}}} \right).\left( \frac{1-{{x}^{2}}}{1+{{x}^{2}}} \right) \right|\le 1$

Đặt:

$ \displaystyle \begin{array}{l}\vec{a}=\left( \frac{2x}{1+{{x}^{2}}},\frac{1-{{x}^{2}}}{1+{{x}^{2}}} \right)\\\vec{b}=\left( \frac{1-{{y}^{2}}}{1+{{y}^{2}}},\frac{2y}{1+{{y}^{2}}} \right)\end{array}$

Suy ra :  $ \displaystyle \left| {\vec{a}} \right|=\left| {\vec{b}} \right|=1$

Mà $ \displaystyle \left| \vec{a}.\vec{b} \right|\le \left| {\vec{a}} \right|.\left| {\vec{b}} \right|$. Vậy  $ \displaystyle \left| \vec{a},\vec{b} \right|\le 1$ (đpcm).

Ví dụ 4:

Cho ba  số $ \displaystyle x,$ $ \displaystyle y,$ $ \displaystyle z$ thỏa hệ thức $ \displaystyle {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=xy+yz+xz.$ Chứng minh rằng $ \displaystyle {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-(xy+yz+zx)\ge 0.$

Giải

Trong không gian với hệ tọa độ Đề-các vuông góc Oxy cho các vectơ :

$ \displaystyle \vec{u}=(x,y,z),$ $ \displaystyle \vec{v}=(y,z,x)$

Vì  $ \displaystyle \vec{u}.\vec{v}=\left| {\vec{u}} \right|.\left| {\vec{v}} \right|\cos (\vec{u},\vec{v})$

$ \displaystyle \Leftrightarrow $ $ \displaystyle xy+yz+xz=({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}})\cos (\vec{u},\vec{v}).$

Mặt khác ta có $ \displaystyle xy+yz+zx={{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}$ nếu $ \displaystyle \cos (\vec{u},\vec{v})=1$ nghĩa là $ \displaystyle \vec{u}$ và $ \displaystyle \vec{v}$ cùng hướng. Vì $ \displaystyle \left| {\vec{u}} \right|=\left| {\vec{v}} \right|$ do đó $ \displaystyle \vec{u}=\vec{v}$ nghĩa là $ \displaystyle x=y=z$.

Do đó ta có:

$ \displaystyle 0\le {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-(xy+yz+zx).$

Ví dụ 5: Cho bốn số thực tùy ý $ {{a}_{1}},{{a}_{2}},{{b}_{1}},{{b}_{2}}$. Chứng minh:

$ \sqrt{{{a}_{1}}^{2}+{{a}_{2}}^{2}}+\sqrt{{{b}_{1}}^{2}+{{b}_{2}}^{2}}\ge \sqrt{{{({{a}_{1}}+{{b}_{1}})}^{2}}+{{({{a}_{2}}+{{b}_{2}})}^{2}}}$

Giải

Xét các vectơ:$ \overrightarrow{u}=({{a}_{1}},{{a}_{2}});\overrightarrow{v}=({{b}_{1}},{{b}_{2}})\Rightarrow \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=({{a}_{1}}+{{b}_{1}},{{a}_{2}}+{{b}_{2}})$

Áp dụng :$ \left| \overrightarrow{u} \right|+\left| \overrightarrow{v} \right|\ge \left| \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v} \right|$ $ \Rightarrow $$ \sqrt{{{a}_{1}}^{2}+{{a}_{2}}^{2}}+\sqrt{{{b}_{1}}^{2}+{{b}_{2}}^{2}}\ge \sqrt{{{({{a}_{1}}+{{b}_{1}})}^{2}}+{{({{a}_{2}}+{{b}_{2}})}^{2}}}$

Đẳng thức xảy ra khi $ \overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$cùng hướng$ \Leftrightarrow {{a}_{1}}.{{b}_{2}}={{a}_{2}}.{{b}_{1}}$

Ví dụ 6: Cho 6 số thực a, b, c, d, x, y, z thỏa mãn: a + b + c = 2; ax + by + cz = 6

Chứng minh rằng:$ \sqrt{16{{a}^{2}}+{{a}^{2}}{{x}^{2}}}+\sqrt{16{{b}^{2}}+{{b}^{2}}{{y}^{2}}}+\sqrt{16{{c}^{2}}+{{c}^{2}}{{z}^{2}}}\ge 10$

HD: Đặt $ \overrightarrow{u}=(4a,\text{ax});\overrightarrow{v}=(4b,by);\overrightarrow{\text{w}}=(4c;cz)$

BÀI TẬP TỰ GIẢI

1. Cho $ \Delta $ABC, CMR: $ \sin \frac{A}{2}+\sin \frac{B}{2}+\sin \frac{C}{2}\le \frac{3}{2}$.

2. CMR:

a) $ \sum\limits_{i=1}^{n}{c\text{os}\frac{2(i-1)\pi }{n}=0}$.

b)  $ \sum\limits_{i=1}^{n}{\sin \frac{2(i-1)\pi }{n}}=0$

3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:$ f=x+\sqrt{2-{{x}^{2}}}+x.\sqrt{2-{{x}^{2}}}$

4. Cho x, y, z là ba số dương và x + y + z $ \le $ 1

Chứng minh rằng:$ \sqrt{{{x}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{2}}}}+\sqrt{{{y}^{2}}+\frac{1}{{{y}^{2}}}}+\sqrt{{{z}^{2}}+\frac{1}{{{z}^{2}}}}\ge \sqrt{82}$

5. (Đại học khối B 2006).Cho x,y là các số thực thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$ A=\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x+1}+\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2x+1}+\left| y-2 \right|$

6. Cho ba số thực x, y, z tùy ý.Chứng minh:

$ \sqrt{{{x}^{2}}+xy+{{y}^{2}}}+\sqrt{{{x}^{2}}+xz+{{z}^{2}}}\ge \sqrt{{{y}^{2}}+yz+{{z}^{2}}}$

1 Comment

Add a Comment
  1. Bài viết rất hữu ích

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *