Phương pháp chứng minh bất đẳng thức bằng định nghĩa

Chứng minh bất đẳng thức bằng định nghĩa là phương pháp thường hay sử dụng trong các bài toán chứng minh BĐT thông thường.

Chúng ta cũng cần kết hợp thêm các hằng đẳng thức đáng nhớ đã học.
* Cấu trúc của phương pháp:
Để chứng minh A > B, ta xét hiệu A – B sau đó chứng minh A – B > 0 rồi kết luận.
Ví dụ 1: Cho a, b, c là 3 số tuỳ ý chứng minh rằng:
a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca
Giải:
Xét biểu thức: M = a2 + b2 + c2 – (ab + bc + ca)
Suy ra  2M = 2 a2 + 2b2 + 2c2 – 2 ab – 2bc – 2 ca
= (a2 – 2ab + b2) + (b2 – 2bc + c2) + (c2 – 2ca + a2)
= (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2
Vì:     (a – b)2 ≥ 0
(b – c)2 ≥ 0
(c – a)2 ≥ 0
Do đó (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 ≥ 0
Suy ra 2a2 + 2b2 + 2c2 – 2 ab – 2bc – 2 ca ≥ 0 hay a2 + b2 + c2 – (ab + bc + ca) ≥ 0
Vậy: a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c
Ví dụ 2: Cho a, b, c là 3 số tuỳ ý chứng minh rằng:
a2 + b2 + c2 + $ \frac{3}{4}$ ≥ a + b + c
Giải:
Xét biểu thức: N = a2 + b2 + c2 + $ \frac{3}{4}$ – (a + b + c)
= (a2 – a + $ \frac{1}{4}$) + (b2 – b + $ \frac{1}{4}$) + (c2 – c + $ \frac{1}{4}$)
= (a – $ \frac{1}{2}$)2 + (a – $ \frac{1}{2}$)2 + (c – $ \frac{1}{2}$)2
Vì (a – $ \frac{1}{2}$)2 ≥ 0;    (a – $ \frac{1}{2}$)2 ≥ 0;      (c – $ \frac{1}{2}$)2 ≥ 0. Do đó (a – $ \frac{1}{2}$)2 + (a – $ \frac{1}{2}$)2 + (c – $ \frac{1}{2}$)2  ≥ 0
Suy ra a2 + b2 + c2 + $ \frac{3}{4}$ – (a + b + c) ≥ 0
⇔ a2 + b2 + c2 + $ \frac{3}{4}$ ≥ a + b + c
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi  a = b = c = $ \frac{1}{2}$

1 Comment

Add a Comment
  1. Bài viết rất hữu ích

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Gia sư Hà Nội Copyright © 2020 DMCA.com Protection Status Gia sư Hà Nội