Đề thi chọn HSG lớp 12 môn Toán tỉnh Bến Tre 2018-2019

Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi lớp 12 THPT môn Toán tỉnh Bến Tre năm học 2018-2019. Thời gian: 180 phút (không kể phát đề).

Câu 1 (5 điểm)
Giả sử α, β là các nghiệm thực của phương trình $ \displaystyle 4{{x}^{2}}-4tx-1=0\,\,(t\in \mathbb{R})$ và [α;β] là tập xác định của hàm số $ \displaystyle f(x)=\frac{{2x-t}}{{{{x}^{2}}+1}}$.

a) Đặt $ \displaystyle g(t)=\max f(x)-\min f(x)$. Tìm g(t) theo t.

h) Chứng minh rằng: Với $ \displaystyle {{u}_{1}},{{u}_{2}},{{u}_{3}}\in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)$, nếu $ \displaystyle \sin {{u}_{1}}+\sin {{u}_{2}}+\sin {{u}_{3}}=1$ thì:

$ \displaystyle \frac{1}{{g\left( {\tan {{u}_{1}}} \right)}}+\frac{1}{{g\left( {\tan {{u}_{2}}} \right)}}+\frac{1}{{g\left( {\tan {{u}_{3}}} \right)}}<\frac{{3\sqrt{6}}}{4}$

Câu 2 (5 điểm)

Cho tam giác ABC có $ \displaystyle \hat{A}={{60}^{{}^\circ }}$, AB > AC. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, H là giao điểm hai đường cao BE và CF (E ∈ AC, F ∈ AB). Trên các cạnh BH, HF lần lươt lấy các điểm M, N sao cho BM = CN. Tính giá trị của $ \displaystyle \frac{{MH+NH}}{{OH}}$.

Câu 3 (5 điểm)

Dịp hè năm học 2017 2018, hiệu trưởng trường A tô chức cho 3n (n là số nguyên dương) học sinh tham gia cắm trại. Mồi ngày, hiệu trưởng phân công 3 học sinh làm vệ sinh khu vực cắm trại.

Khi đợt cắm trại kết thúc, hiệu trưởng nhận thây rằng: với 2 học sinh bất kỳ có đúng một lần được phân công làm vệ sinh trong cùng một ngày.

a) Khi n = 3, hãy tìm số cách sắp xếp học sinh thỏa yêu cầu trên. Giải thích.

b) Chứng minh rằng n là số lẻ.

Câu 4 (5 điểm)
Xác định tất cá các hàm $ \displaystyle f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ và $ \displaystyle g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện:

(1) Với mọi $ \displaystyle x,y\in \mathbb{R}:2f(x)-g(x)=f(y)-y$;

(2) Với mọi $ \displaystyle x\in \mathbb{R}:f(x)\cdot g(x)\ge x+1$.

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *