Bài tập áp dụng góc nội tiếp chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn có lời giải

Góc nội tiếp có vai trò quan trọng trong các bài toán chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn. Và dưới đây là ví dụ và một số bài tập áp dụng có lời giải.

Trước tiên các em cần nhớ lại các tính chất của góc nội tiếp trong đường tròn. Đó là:

Tính chất góc nội tiếp

Trong một đường tròn:

– Các góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau.

– Các góc nội tiếp chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau.

– Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn bằng 90 độ (1 góc vuông).

Ví dụ áp dụng góc nội tiếp

Ví dụ 1. Cho đường tròn (O, R) có đường kính AB. Bán kính CO vuông góc với AB, M là một điểm bất kì trên cung nhỏ AC (M khác A, C); BM cắt AC tại H. Gọi K là hình chiếu của H trên AB.

a. Chứng minh CBKH là tứ giác nội tiếp.

b. Chứng minh CA là tia phân giác của góc MCK.

Giải

a. Ta có: góc HCB bằng 90º (do chắn nửa đường tròn đường kính AB)

góc HKB bằng 90º (do K là hình chiếu của H trên AB)

Bài tập áp dụng góc nội tiếp trong tứ giác nội tiếp đường tròn

Nên tứ giác CBKH nội tiếp trong đường tròn đường kính HB.

Bài tập áp dụng góc nội tiếp trong tứ giác nội tiếp đường tròn

b. Ta có:

Bài tập áp dụng góc nội tiếp trong tứ giác nội tiếp đường tròn

Ví dụ 2. Cho đường tròn (O) và điểm I ở trong đường tròn. Dựng qua I hai dây cung bất kì MIN và EIF. Gọi M’, N’, E’, F’ lần lượt là trung điểm của IM, IN, IE, IF.

a. Chứng minh tứ giác M’E’N’F’ là tứ giác nội tiếp.

b. Chứng minh IM’.IN’ = IE’.IF’.

Giải

a. Gọi trung điểm của OI là O’

⇒ O’E’ là đường trung bình của tam giác IOE.

Bài tập áp dụng góc nội tiếp trong tứ giác nội tiếp đường tròn

Bài tập áp dụng góc nội tiếp trong tứ giác nội tiếp đường tròn

b. Tứ giác M’E’N’F’ nội tiếp suy ra:

Bài tập áp dụng góc nội tiếp trong tứ giác nội tiếp đường tròn

⇒ △M’IE’ đồng dạng △F’IN’ (g.g)

Bài tập áp dụng góc nội tiếp trong tứ giác nội tiếp đường tròn

Ví dụ 3. Từ đỉnh A của hình vuông ABCD kẻ hai tia tạo với nhau một góc 45º. Một tia cắt cạnh BC tại E cắt đường chéo BD tại P. Tia kia cắt cạnh CD tại F và cắt đường chéo BD tại Q.

a. Chứng minh 5 điểm E, P, Q, F và C cùng nằm trên một đường tròn.

b. Chứng minh:

Bài tập áp dụng góc nội tiếp trong tứ giác nội tiếp đường tròn

Giải

a. Ta có:

Bài tập áp dụng góc nội tiếp trong tứ giác nội tiếp đường tròn

Suy ra tứ giác ADFP nội tiếp được trong đường tròn.

Bài tập áp dụng góc nội tiếp trong tứ giác nội tiếp đường tròn

Vậy, năm điểm P, Q, F, C, E cùng thuộc đường tròn đường kính EF.

b. Theo câu a, góc AQE bằng 90º

Bài tập áp dụng góc nội tiếp trong tứ giác nội tiếp đường tròn

Tương tự: △APF cũng vuông cân:

Bài tập áp dụng góc nội tiếp trong tứ giác nội tiếp đường tròn

Từ (1) và (2) suy ra:

Bài tập áp dụng góc nội tiếp trong tứ giác nội tiếp đường tròn

⇒ △AQP đồng dạng △AEF (c.g.c)

Bài tập áp dụng góc nội tiếp trong tứ giác nội tiếp đường tròn

Bài tập áp dụng góc nội tiếp

Bài 1. Cho hình thang ABCD (AB//CD, AB>CD) nội tiếp trong một đường tròn có số đo cung AD bằng 120º. Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại I. Gọi E, F, M lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng IA, ID, BC.

a. Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp được trong một đường tròn.

b. Chứng minh tam giác MEF là tam giác đều.

Giải:

a) Ta có: góc ACD là góc nội tiếp chắn cung AD của đường tròn ngoại tiếp hình thang ABCD nên:

Bài tập áp dụng góc nội tiếp chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn có lời giải

⇒ góc BDC bằng 60º (ABCD là hình thang cân)

△ICD là tam giác đều

⇒ CF là đường cao của △ICD ⇒ CF ⊥ ID

⇒ góc CFB bằng 90º

Vậy, tứ giác BEFC nội tiếp được trong đường tròn tâm M đường kính BC.

Bài tập áp dụng góc nội tiếp chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn có lời giải

b. Ta có: tứ giác BEFC nội tiếp trong đường tròn tâm M (chứng minh trên)

Bài tập áp dụng góc nội tiếp chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn có lời giải

Lại có: EF là đường trung bình của △IAD

Bài tập áp dụng góc nội tiếp chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn có lời giải

Mà: AD = BC suy ra ME = MF = EF ⇒ △MEF là tam giác đều.

Bài 2. Cho đường tròn tâm O bán kính R tiếp xúc với đường thẳng d tại A. Trên d lấy điểm H không trùng với A, AH < R. Qua H kẻ đường thẳng vuông góc với d, đường thẳng này cắt đường tròn tại E và B (E nằm giữa B và H)

a. Lấy điểm C trên d sao cho H là trung điểm của AC, CE cắt AB tại K.

Chứng minh AHEK là tứ giác nội tiếp.

b. Xác định vị trí điểm H để AB = R$\displaystyle \sqrt{3}$.

Giải:

a. Ta có: EH ⊥ AC tại trung điểm H của AC nên △AEC cân tại E.

Bài tập áp dụng góc nội tiếp chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn có lời giải

Hai tam giác AKC và AHB có:

Bài tập áp dụng góc nội tiếp chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn có lời giải

Nên △AKC đồng dạng với △AHB

Bài tập áp dụng góc nội tiếp chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn có lời giải

Suy ra tứ giác AHEK nội tiếp trong đường tròn đường kính AE.

Bài tập áp dụng góc nội tiếp chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn có lời giải

b. Ta có:

Bài tập áp dụng góc nội tiếp chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn có lời giải

Bài 3. Cho đường tròn (O) có đường kính AB = 2R và điểm C thuộc đường tròn đó (C khác A, B). Lấy điểm D thuộc dây BC (D khác B, C). Tia AD cắt cung nhỏ BC tại điểm E, tia AC cắt tia BE tại điểm F. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác FCDE.

a. Chứng minh IC là tiếp tuyến của đường tròn (O).

b. Biết DF = R.

Bài tập áp dụng góc nội tiếp chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn có lời giải

Giải:

a. Ta có: góc DCF bằng 90º; góc DEF bằng 90º

Suy ra, tâm I của đường tròn ngoại tiếp tứ giác CDEF là trung điểm của DF.

⇒ IC = IF (bán kính)

Bài tập áp dụng góc nội tiếp chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn có lời giải

Tứ giác CDEF nội tiếp nên:

Bài tập áp dụng góc nội tiếp chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn có lời giải

Bài tập áp dụng góc nội tiếp chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn có lời giải

Vậy, IC là tiếp tuyến của đường tròn (O).

b. Chứng minh tương tự câu a, ta được: IE là tiếp tuyến của đường tròn (O)

Bài tập áp dụng góc nội tiếp chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn có lời giải

Suy ra hai tam giác vuông ICO và FEA đồng dạng với nhau.

Bài tập áp dụng góc nội tiếp chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn có lời giải

Bài 4. Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R. Gọi d1 và d2 lần lượt là hai tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A và B. Gọi I là trung điểm của OA và E là điểm thuộc đường tròn (O) (E khác A, B). Đường thẳng d đi qua E và vuông góc với EI cắt hai đường thẳng d1 và d2 lần lượt tại M và N.

a. Chứng minh MI là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tứ giác BHEI.

b. Chứng minh AM.BN = AI.BI

Giải:

a. Góc NBI và góc NEI đều bằng 90º nên đường tròn ngoại tiếp tứ giác BNEI có đường kính là NI

Tứ giác AMEI nội tiếp

Bài tập áp dụng góc nội tiếp chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn có lời giải

Vậy, MI là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tứ giác BNEI.

Bài tập áp dụng góc nội tiếp chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn có lời giải

b. △MAI đồng dạng với △IBN

Bài tập áp dụng góc nội tiếp chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn có lời giải

Bài 5. Cho đường tròn (O) và dây cung AB. M là điểm chính giữa của cung AB. Hai cát tuyến vẽ từ M cắt đường tròn (O) tại C và E, cắt đường thẳng AB tại D và F.

a. Chứng minh tứ giác CDFE nội tiếp được đường tròn.

b. Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD tiếp xúc với AM.

c. Tìm tập hợp tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD.

Giải:

a. góc DCE là góc nội tiếp chắn cung MBE của đường tròn (O) nên:

Bài tập áp dụng góc nội tiếp chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn có lời giải

Góc BFE là góc có đỉnh ở bên trong đường tròn (O) nên:

Bài tập áp dụng góc nội tiếp chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn có lời giải

Vậy, tứ giác CDFE nội tiếp được đường tròn.

Bài tập áp dụng góc nội tiếp chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn có lời giải

b. Ta có:

Bài tập áp dụng góc nội tiếp chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn có lời giải

Qua A vẽ tiếp tuyến Ax của đường tròn ngoại tiếp △ACD, ta có:

Bài tập áp dụng góc nội tiếp chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn có lời giải

⇒ AM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp △ACD.

c. Theo chứng minh trên AM là tiếp tuyến tại A của đường tròn ngoại tiếp △ACD nên tâm I thuộc đường thẳng vuông góc với AM tại A.

Vậy, tập hợp điểm tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD là tia At vuông góc với AM tại A.

Bài 6. Cho tam giác ABC vuông tại A, trên cạnh AC lấy điểm D (D khác A, D khác C). Đường tròn (O) đường kính DC cắt BC tại E (E khác C).

a. Chứng minh tứ giác ABED nội tiếp đường tròn.

b. Đường thẳng BD cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai I. Chứng minh ED là tia phân giác của góc AEI.

c. Giả sử tan góc ABC = $ \sqrt {2} . Tìm vị trí của D trên AC để EA là tiếp tuyến của đường tròn đường kính DC.

Giải:

a.

Bài tập áp dụng góc nội tiếp chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn có lời giải

⇒ Tứ giác ABED nội tiếp đường tròn đường kính BD.

b. Tứ giác ABED nội tiếp

Bài tập áp dụng góc nội tiếp chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn có lời giải

Bài tập áp dụng góc nội tiếp chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn có lời giải

c. Để EA là tiếp tuyến của đường tròn đường kính DC thì:

Bài tập áp dụng góc nội tiếp chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn có lời giải

Bài 7. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và H là trực tâm. Vẽ hình bình hành BHCD. Đường thẳng đi qua D và song song BC cắt đường thẳng AH tại E.

a. Chứng minh A, B, E, D, C cùng thuộc một đường tròn.

b. Chứng minh góc BAE bằng góc DAC.

c. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và M là trung điểm của BC, đường thẳng AM cắt OH tại G. Chứng minh G là trọng tâm của tam giác ABC.

Giải:

a. AE ⊥ BC; BC // ED

⇒ AE ⊥ ED

⇒ góc AED bằng 90º (1)

Tứ giác BHCD là hình bình hành nên:

BD // HC ⇒ BD ⊥ AB (CH ⊥ AB) ⇒ góc ABD bằng 90º    (2)

DC // BH ⇒ DC ⊥ AC (BH ⊥ AC) ⇒ góc ACD bằng 90º    (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra 5 điểm A, B, E, D, C cùng nằm trên đường tròn đường kính AD.

b.  ED // BC  ⇒ Tứ giác BCDE là hình thang cân

⇒ BE = CD ⇒ cung BE = cung DC

⇒ góc BAE bằng góc DAC (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau)

Bài tập áp dụng góc nội tiếp chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn có lời giải

c. Tứ giác BHCD là hình bình hành nên 3 điểm H, M, D thẳng hàng

△AHD có OM là đường trung bình nên: AH = 2OM và AH // OM

△AHG và △MOG có:

Bài tập áp dụng góc nội tiếp chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn có lời giải

Nên △AHG đồng dạng △MOG (g.g)

Bài tập áp dụng góc nội tiếp chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn có lời giải

Mặt khác: △ABC có AM là trung tuyến và AG= 2MG

Do đó, G là trọng tâm tam giác ABC.

Bài 8. Cho đường tròn (O) và một điểm A sao cho OA = 3R. Qua A kẻ 2 tiếp tuyến AP và AQ của đường tròn (O), với P và Q là 2 tiếp điểm. Lấy M thuộc đường tròn (O) sao cho PM song song với AQ. Gọi N là giao điểm thứ hai của đường thẳng AM và đường tròn (O). Tia PN cắt đường thẳng AQ tại K.

a. Chứng minh $K A^{2}=K N . F P$

b. Kẻ đường kính QS của đường tròn (O). Chứng minh tia NS là tia phân giác của góc PNM.

c. Gọi G là giao điểm của 2 đường thẳng AO và PK. Tính độ dài đoạn thẳng AG theo bán kính R.

Giải:

a. Xét tứ giác APOQ có góc APO bằng 90º (Do AP là tiếp tuyến của (O) ở P)

góc AQO bằng 90º (Do AQ là tiếp tuyến của (O) ở Q)

Bài tập áp dụng góc nội tiếp chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn có lời giải

⇒Tứ giác APQO nội tiếp đường tròn đường kính OA.

Xét △AKN và △PKA có:

góc AKP chung

Bài tập áp dụng góc nội tiếp chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn có lời giải

Suy ra △AKN đồng dạng △PKA (g.g)

Bài tập áp dụng góc nội tiếp chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn có lời giải

Bài tập áp dụng góc nội tiếp chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn có lời giải

b. Kẻ đường kính QS của đường tròn (O)

Ta có: AQ ⊥ QS (AQ là tiếp tuyến của (O) ở Q)

Mà: PM // AQ (gt) nên PM ⊥ QS

Đường kính QS ⊥ PM nên QS đi qua điểm chính giữa của cung PM nhỏ

Bài tập áp dụng góc nội tiếp chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn có lời giải

Hay NS là tia phân giác của góc PNM.

c. Chứng minh được △AQO vuông ở Q, có QP ⊥ AO (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

$O Q^{2}=O I . O A$

Bài tập áp dụng góc nội tiếp chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn có lời giải

Do △KNQ đồng dạng △KQP (g.g) nên $K Q^{2}=K N . K P$

Mà, $A K^{2}=N K . K P$ nên AK = KQ

Vậy,△APQ có các trung tuyến AI và PK cắt nhau ở G

Suy ra, G là trọng tâm △APQ

Bài tập áp dụng góc nội tiếp chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn có lời giải

Bài 9. Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R và C là một điểm nằm trên đường tròn sao cho CA > CB. Gọi I là trung điểm của OA. Vẽ đường thẳng d vuông góc với AB tại I, cắt tia BC tại M và cắt đoạn AC tại P; AM cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai K.

a. Chứng minh ba điểm B, P, K thẳng hàng

b. Các tiếp tuyến tại A và C của đường tròn (O) cắt nhau tại Q. Tính diện tích của tứ giác QAIM theo R khi BC = R.

Giải:

a. MI và AC là hai đường cao của △MAB

⇒ P là trực tâm của △MAB

⇒ BP là đường cao thứ ba

⇒ BP ⊥ MA (1)

Mặt khác, góc AKB bằng 90º (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

⇒ BK ⊥ MA (2)

Từ (1) và (2) suy ra ba điểm B, P, K thẳng hàng.

Bài tập áp dụng góc nội tiếp chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn có lời giải

b. AC^2 = AB^2 - BC^2 = 4R^2 - R^2 = 3R^2

⇒ AC = R\sqrt {3}

Khi BC = R thì tam giác OBC là tam giác đều

Suy ra: góc CBA bằng 60^0

Mà góc QAC và góc CBA bằng nhau (góc tạo bởi tia tiếp tuyến – dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung AC)

Do đó, góc QAC bằng 60º

Tam giác QAC cân tại Q (QA = QC) có góc QAC bằng 60º nên △QAC là tam giác đều ⇒ AQ = AC = R$ \displaystyle \sqrt{3}$

Dễ thấy:

Bài tập áp dụng góc nội tiếp chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn có lời giải

Trong tam giác vuông IBM: góc I bằng 90º ta có:

Bài tập áp dụng góc nội tiếp chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn có lời giải

Tứ giác QAIM là hình tháng vuông vì AQ // IM, góc I bằng 90º

Do đó, diện tích hình thang vuông QAIM bằng:

Bài tập áp dụng góc nội tiếp chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn có lời giải

Bài 10. Cho đường tròn tâm O đường kính AB và điểm C trên đường tròn sao cho CA = CB. Gọi M là trung điểm của AC, nối BM cắt cung AC tại E, AE và BC kéo dài cắt nhau tại D.

a. Chứng minh: DE.DA = DC.DB.

b. Chứng minh: MOCD là hình bình hành.

c. Kẻ EF vuông góc với AC. Tính tỷ số ME/EF ?

d. Vẽ đường tròn tâm E bán kính EA cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là N; EF cắt AN tại I, cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là K; EB cắt AN tại H. Chứng minh tứ giác BHIK nội tiếp được đường tròn.

Giải:

a. Chứng minh DE.DA = DC.DB

Ta có: góc ACB bằng 90º (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O))

⇒ góc ACD bằng 90º (vì kề bù với góc ACB)

Ta lại có: góc AEB bằng 90º (góc nội tiếp nửa đường tròn (O))

⇒ góc DEB bằng 90º (vì kề bù với góc AEB)

Xét △ADC và △BDE có:

Bài tập áp dụng góc nội tiếp chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn có lời giải

Bài tập áp dụng góc nội tiếp chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn có lời giải

b. Chứng minh MOCD là hình bình hành

Ta có: MC = MA (gt)

⇒ OM ⊥ AC (liên hệ giữa đường kính và dây cung)

CD ⊥ AC (vì góc ACD bằng 90º)

⇒ OM // CD (cùng vuông góc với AC) (1)

Mặt khác: △DAB có BE và AC là hai đường cao cắt nhau tại M

⇒ M là trực tâm △DAB

⇒ DM là đường cao thứ ba ⇒ DM ⊥ AB

Mà: cung CA = cung CB (vì CA = CB) ⇒ CO ⊥ AB

Suy ra: DM // CO (2)

Từ (1) và (2) suy ra: tứ giác MOCD là hình bình hành.

c. Kẻ EF ⊥ AC. Tính tỉ số MF/EF.

Xét △MFE và △MCB có:

Bài tập áp dụng góc nội tiếp chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn có lời giải

Ta lại có: AC = 2MC (gt)

Mà: CB = CA ⇒ CB = 2MC

Suy ra:

Bài tập áp dụng góc nội tiếp chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn có lời giải

d. Chứng minh tứ giác BHIK nội tiếp được đường tròn

Ta có:

Bài tập áp dụng góc nội tiếp chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn có lời giải

Mà: EA = EN (bán kính đường tròn (E))

⇒ cung EA bằng cung EN

Suy ra:

Bài tập áp dụng góc nội tiếp chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn có lời giải

Vậy, tứ giác BIHK nội tiếp được đường tròn.

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *